正多面体：要素の対称性とエリア

必ずしも明確ではない代数とは異なり、なぜ、何を考えて、ビジュアルオブジェクトを与え、ので、ジオメトリは美しいです。 様々な体のこの素晴らしい世界には、正多面体を飾ります。

正多面体の一般情報

彼らはプラトニック固体と呼ばれているとして、多くの、正多面体によると、または、ユニークな特性を有しています。 これらのオブジェクトは、いくつかの科学的な仮説を接続して。 あなたは体の幾何学的データを検討し始めたとき、あなたは、ほぼ正多面体などの概念について何も知らないことを実現します。 学校でこれらのオブジェクトのプレゼンテーションは、常に興味深いものではありません、非常に多くのも、彼らが呼ばれたか覚えていません。 ほとんどの人々の記憶では、それはただの立方体です。 ボディ形状はいずれも正多面体のような完璧を持っていません。 これらの幾何学的な体のすべての名称は、古代ギリシャから始まりました。 - 4両面、六面体 - アレン、八面体 - 八角形、正十二面体 - 十二面体、正二十面体 - 四面体、正二十面体：彼らは、顔の数を表します。 これらの幾何学的な体のすべてが宇宙のプラトンの概念で重要な位置を占めています。 - 火災、正二十面体 - ウォーターキューブ - 地球、八面体 - 四面体空気：それらの4つの要素またはエンティティを具現化しています。 十二面体は、すべてのものを具現化。 彼は宇宙のシンボルとして、メインと考えられました。

多面体の概念の一般化

多面体は、その多角形の有限集合です。

• 多角形のいずれかの側の各々は、同時に同じ側に他のポリゴンの片側のみです。
• ポリゴンのそれぞれから、あなたはそれに隣接するポリゴン渡すことで、他に歩くことができます。

リブ - 多面体を構成するポリゴンは、その面とその側面を表します。 多面体の頂点はポリゴンの頂点です。 用語のポリゴンが平らな閉じたポリラインを理解していれば、その後、多面体の一つの定義に来ます。 この用語には、破線で囲まれる面の一部を意味する場合には、多角形片からなる表面を理解されるであろう。 凸多面体は、その面に隣接する面の一方の側に位置する本体と呼ばれます。

別の多面体の定義とその要素

多面体は、幾何学的本体を制限する、ポリゴンからなる表面と呼ばれます。 彼らは以下のとおりです。

• 非凸。
• 凸（善悪）。

正多面体は - 最大の対称性を持つ凸多面体です。 正多面体の要素：

• 四面体：6つのリブ4つの面5つの頂点。
• 六面体（立方体）12、6、8。
• 十二面体30、12、20。
• 八面体12、8、6。
• 二十面体30、20、12。

オイラーの定理

これは、エッジ、頂点及び面の数との関係が球にトポロジー的に等価である確立します。 頂点及び面の数（B + D）が異なる正多面体を有し、リブの数と比較する追加、1つのルールを設定することが可能である：頂点と辺の数に等しい顔の数の合計（P）は2だけ増加単純な式を導出することが可能です。

• B + D = P + 2。

この式は、すべての凸多面体に対して有効です。

基本的な定義

正多面体のコンセプトは、一つの文で説明することは不可能です。 これは、より多くの価値とボリュームです。 本体は、そのように認識されるように、定義の数を満たしていることが必要です。 このように、幾何学的なボディは、これらの条件が満たされている正多面体は次のようになります。

• それは凸状です。
• リブの同じ数は、その頂点の各々に収束します。
• 彼のすべての面 - 互いに等しい正多角形、。
• すべての二面角は等しいです。

正多面体の性質

正多面体の5種類があります。

1. キューブ（六面体） - それは平らな頂角は90°である持っています。 これは、3辺の角度を持っています。 金額面は270°の頂点に角度。
2. テトラヘドロン - 60° - の平らな頂角。 これは、3辺の角度を持っています。 180° - 金額面が頂点に角度。
3. 八面体 - 60° - の平らな頂角。 これは、4辺の角度を持っています。 240° - 金額面が頂点に角度。
4. 十二面体 - 108°のフラット頂角。 これは、3辺の角度を持っています。 324° - 金額面が頂点に角度。
5. 二十面体は、 - 60° - それはの平らな頂角を持っています。 これは、5面体角を有しています。 金額面は300°の頂点に角度。

正多面体の面積

幾何学体の表面積（S）はファセットの数（G）を乗じた正多角形の面積として計算されます。

• Sは、=（：2）2G CTGπ/ P xは。

正多面体のボリューム

この値は、ベース正多角形、面の数である正規ピラミッドの体積を乗じて算出し、その高さは、球体（R）の内接半径です。

• V = 1：3R推進。

正多面体の巻

他の幾何学的な固体、正多面体のような別のボリュームを持っています。 以下は、彼らが求めることが可能な式は以下のとおりです。

• テトラヘドロン：αX3√2：12;
• 八面体：αX3√2：3;
• 二十面体; α×3;
• 六面体（立方体）：α×5×3×（3 +√5）：12。
• 十二面体：α×3（15 +7√5）：4。

正多面体の要素

六面体と正八面体は、二重の幾何体です。 換言すれば、彼らは、一つの重心が、他の上部、およびその逆とすることイベントで互いにから抜け出すことができます。 また、二重の二十面体と十二面体です。 ご自身のみ四面体は、デュアルです。 ユークリッドの方法によれば、立方体の面の「屋根」を構築することによって、十二面体の六面体から得ることができます。 四面体の頂点は立方体の任意の4つの頂点、エッジに沿っていない隣接する対です。 六面体（立方体）を得ることができ、他の正多面体から。 事実にもかかわらず、 正多角形 無数の、正多面体がある、唯一の5があります。

正多角形の半径

これらの幾何学的な体のそれぞれに接続された同心球は、3とおりです。

• 頂点を通過記載。
• その途中でその面のそれぞれについて内接。
• 真ん中の全ての辺についての中央値。

以下の式によって記述球の半径を算出します。

• Rは、=：2×TGπ/ gのX TGθ：2。

次のように内接球の半径が計算されます。

• Rは、=：2×CTGπ/ PをX TGθ：2、

どこθ - 隣接面との間にある二面角。

球のメジアン半径は、以下の式を用いて計算することができます。

• ρ= COSπ/ P：2のSiNπ/ H、

hが4.6、6.10、または10記載の内接半径の比と対称p及びqに対しての大きさ=ここ。 それは次のように計算されます。

• R / R = TGπ/ P X TGπ/ Q。

多面体の対称性

正多面体の対称性は、これらの幾何学的なボディへの主要な関心事です。 これは、頂点、面とエッジの同じ数を残す空間における身体の動き、と理解されます。 換言すれば、対称変換の影響下エッジ、頂点、または顔が元の位置を保持し、または他のリブのホームポジション、他の頂点または面に移動します。

正多面体の対称性の要素は、幾何学的な固形物の全てのタイプに共通しています。 ここでは、元の位置の点のいずれかを残し恒等変換、で行われます。 あなたが電源を入れたときにそう、多角柱は、いくつかの対称性を得ることができます。 それらのいずれかは、反射の積として表すことができます。 ダイレクトと呼ばれる偶数回の反射、の積である対称性、。 それは反射の奇数の積である場合、それはフィードバックと呼ばれています。 このように、ラインの周りのすべてのターンはまっすぐな対称性を表します。 任意の反射多面体は - 逆対称です。

より良い正多面体の対称要素を理解するには、四面体の例を取ることができます。 頂点の1つの中心を通過する任意の線の幾何学的形状は、場所を取り、それとは反対側のエッジの中心を通るであろう。 線の周りに巻き120及び240°のそれぞれは、複数面体対称に属します。 その4つの頂点と面以来、私たちは、8つの直接対称性の合計を取得します。 縁の中央と本体の中心を通る線のいずれかが、それは反対側の縁の中央を通過します。 180°の任意の回転は、ストレート対称の周りに半回転と呼ばれます。 四面体は、リブの3組を持っているので、あなたは、対称性の3行を取得します。 以上を踏まえ、我々は直接対称の総数を締結し、恒等変換を含むことができ、12までとなります。 他の直接対称四面体は存在しませんが、それは12の逆対称性を有します。 したがって、わずか24は、四面体対称性を特徴とします。 明確にするために、我々は、段ボールで作られた正四面体のモデルを構築し、それが幾何学的なボディは本当にわずか24対称性を有していることを確認することができます。

十二面体と正二十面体 - ボディ・エリアに近いです。 二十面体は、顔の最大数、二面角を持っており、すべてのほとんどは、しっかりと刻まれた球にしがみつくことができます。 十二面体が頂点で最低の角度の欠陥最大立体角を持っています。 これは、外接球を埋めるために最大化することができます。

スキャン多面体

我々はすべての子供の頃に一緒に立ち往生正多面体のスキャンは、概念の多くを持っています。 ポリゴンの集合が存在する場合、各辺が多面体の片側のみで識別され、当事者の識別は、二つの条件を遵守しなければなりません。

• 各ポリゴンの、あなたはサイドの識別を持つポリゴンに行くことができます。
• 識別可能な辺の長さは同じである必要があります。

これは、これらの条件を満たしているポリゴンの集合であり、多面体のスキャンと呼ばれています。 これらの機関のそれぞれは、それらのいくつかを持っています。 例えば、立方体は11個があります。