確率論。 イベントの確率は、時折イベント（確率論）。 確率論における独立と互換性のない開発

多くの人々が、ある程度の偶発事象を、カウントすることが可能であると考えていることはほとんどありません。 簡単な言葉でそれを置くために、それは次回に落ちるサイコロのどの立方体の側面を知ることが現実的です。 それは二つの大きな科学者に依頼するこの質問だった、この科学のための基礎、理論築い 確率、確率 十分に広く研究されているイベントを。

世代

あなたは、確率論などの概念を定義しようとした場合、我々は次を得る：これは、ランダムなイベントの恒常性を研究する数学の枝の一つです。 明らかに、この概念は本当に本質を明らかにしていませんので、あなたは、より詳細に、それを考慮する必要があります。

私は理論の創設者で始めたいと思います。 以上述べたように、二つがあったこと パーFERMA と ブレス・パスカル。 彼らは、イベントの結果を計算する数式や数学的な計算を使用して試みた最初でした。 一般的には、この科学の初歩も、中世にあります。 一方で、様々な思想家や科学者は、クラップス、ルーレットなどとしてカジノのゲームを分析しようとした、というように、それによってパターンを確立すること、及び数の割合損失しています。 基礎はまた、17世紀に置かれたそれは、前述の学者でした。

最初は、自分の仕事は、彼らが何をしたか、結局、この分野で大きな成果に帰することができませんでした、彼らは単に経験的事実や実験は数式を使用しなくても、明らかでした。 時間が経つにつれて、それは骨のキャストを観察した結果として現れた、偉大な結果を達成するためになりました。 それは、この楽器は最初の明確な式をもたらすことができましたです。

サポーター

「確率論」の名を冠する対象を研究する過程で、クリスティホイヘンスのような男は言うまでもありません（イベントの確率はこの科学でそれを強調）。 この人は非常に興味深いです。 彼だけでなく、上記の科学者は、ランダムなイベントのパターンを推定する数式の形で試行されます。 それはすべての彼の作品は、それらの心と重ならないで、彼はパスカルとフェルマーとそれを共有していなかったことは注目に値します。 ホイヘンスは、派生 確率論の基本的な概念を。

興味深い事実は、彼の作品は20年前、正確には、先駆者の作品の結果の前に長い来たということです。 た識別概念の中だけあります。

• 確率値の確率の概念として、
• 離散場合の期待。
• 加算と確率の乗算の定理。

また、1はまた、問題の研究に貢献しYakoba Bernulliを、忘れることはできません。 独立したテストですどちらも人の、自分自身を通じ、彼は大数の法則の証明を提供することができました。 ターンでは、19世紀初頭に働いていた科学者ポアソンとラプラスは、オリジナルの定理を証明することができました。 その瞬間から、私たちは確率論を使用して開始した観測でエラーを分析します。 この科学の周りの党はできなかったとロシアの科学者ではなく、マルコフ、チェビシェフとDyapunov。 彼らは偉大な天才を行った作業に基づいており、数学の一分野としての主題を確保しました。 私たちは、19世紀の終わりにこれらの数字を働いていたし、彼らの貢献のおかげで、のような現象が証明されています。

• 大数の法則。
• マルコフ連鎖の理論。
• 中心極限定理。

だから、科学のと、それに貢献した主要な個性を持つ誕生の歴史は、すべてのものは、多かれ少なかれ明らかです。 今ではすべての事実を肉付けする時間です。

基本的な概念

あなたが触れる前に、法律や定理は、確率論の基本概念を学ぶ必要があります。 イベントには、支配的な役割を占めています。 このトピックでは、かなり広範囲ですが、それなしですべての残りの部分を理解することはできません。

確率論でイベント - それは 実験の成果の任意のセット。 この現象の概念は十分にありません。 したがって、この分野での作業Lotmanの科学者は、このケースでは、我々が何について話していることを表明している「それが起こることができませんでしたが、起こりました。」

ランダムイベントは、 （確率論は彼らに特別な注意を払っ） -が発生する可能性を持つ絶対的にどんな現象が関与する概念です。 あるいは、逆に、このシナリオでは、様々な条件のパフォーマンスに発生することはできません。 ちょうど、ランダムなイベントを発生現象の全体の容積を占めることも知っておく価値があります。 確率論は、すべての条件が絶えず繰り返すことができることを示唆しています。 それは、彼らの行動は「経験」またはと呼ばれていている「テスト」。

重要なイベント - これは、この試験では百パーセントが起きている現象です。 したがって、不可能イベント - これは起こらないものです。

ペア操作（従来はケースAとケースB）を組み合わせると同時に起こる現象です。 これらはABと呼ばれています。

イベントの対A及びBの量 - それらの少なくとも1つは、（A又はB）、あなたがC.記載現象がC = A + Bと書かれている式を取得する場合は、Cは、換言すれば、あります

確率論で互換性のない開発は2例が相互に排他的であることを意味します。 同時に、彼らは発生することはできませんどのような場合にされています。 確率論で合同イベント - それは彼らの対掌体です。 含意はAが起こった場合、それはC.を排除するものではないということです

イベントを（確率論は、非常に詳細にそれらを考慮）に対向、理解しやすいです。 これは、比較してそれらに対処するのが最善です。 彼らはほとんど確率論で互換性のない発展と同じです。 しかし、その差は、いずれの場合において現象のうちの一つが発生したということです。

同様に可能性の高いイベント - これらのアクションは、繰り返しの可能性は同等です。 それを明確にするために、あなたはコインを投げ想像することができます。その辺の1の損失は、他の同様に予想損失です。

イベントを有利にする例を考慮することが容易です。 奇数の出現により、ダイのロール、及び第二 - - サイコロの数字5の外観エピソードA.最初のエピソードが存在すると仮定する。 そして、それはAがVに好まれていることが判明します

独立した事象確率論では、2つのまたはそれ以上の機会に投影され、他の任意のアクションとは無関係に関与しています。 例えば、A - 損失テールにおけるコイン投げ、そしてB - dostavanieジャックデッキから。 彼らは、確率論で独立したイベントがあります。 この瞬間から、それが明らかになりました。

確率論における依存性事象は彼らのセットのためにも許容されます。 彼らは、Aがすでに逆に、発生したりしたときにそれがあるとき、現象は発生しませんでした、だけ場合に発生する可能性があり、つまり、他の上の1の依存性を暗示 - B.のための主な条件を

単一の成分からなるランダム実験の結果は、 - それは基本的なイベントです。 確率論は、それが一度だけ行われている現象であると述べています。

基本的な式

したがって、上記の「イベント」、「確率論」の概念を考慮された、この科学の重要な用語の定義は、また、与えられました。 今では重要な式で自身を理解する時間です。 これらの式は、数学的に確率論などの困難な対象に、すべての主要な概念を確認しています。 イベントの確率と大きな役割を果たしています。

より良い組合せ論の基本的な数式を開始します。 あなたがそれらを開始する前に、それが何であるかを検討する価値があります。

組み合わせ論 - 主に数学の一分野である、彼は組み合わせの数につながる、などの整数の膨大な数、および番号とその要素の両方の様々な置換、各種データを、研究してきました... 確率論に加えて、この業界では、統計、コンピュータ科学と暗号のために重要です。

だから今、あなたは自分自身とその定義式のプレゼンテーションに移動することができます。

これらの最初は、次のようにそれは、順列の数の表現です。

P_N = N⋅（N - 1）⋅（N - 2）... 3 2 1⋅⋅= N！

要素が配列の順番のみが異なる場合、式は場合にのみ適用されます。

これが考慮されるようになりまし配置式は、それが見えます：

A_N ^ M = N⋅（N - 1）⋅（N-2）⋅⋅...（N - M + 1）= N！ ：（N - M）！

この式は、発注の唯一の要素に、だけでなく、その組成に限らず適用されます。

第三の組合せ論の方程式、それは後者では、組合せの数のための式と呼ばれます。

C_N ^ M = N！ ：（（N - M））！ ：M！

それぞれ、注文にこのルールを適用していないサンプリングと呼ばれる組み合わせ。

組合せ論の式を簡単に理解するために来たと、あなたは今、確率の古典定義に行くことができます。 これは次のようにこの式のようになります。

N：P（A）は、Mを=。

この式において、Mは - 均等かつ完全にすべての基本イベントの数 - イベントAに資する条件の数、およびnです。

何も考えられなく、例えば、事象の確率は量などの、最も重要なものになります影響されることはありません記事の多くの表現があります。

P（A + B）= P（A）+ P（B） - だけ相互に排他的なイベントを追加するため、この定理。

P（A + B）= P（A）+ P（B） - P（AB） - これは互換性の追加のためだけです。

イベントの確率は動作します：

P（A⋅B）= P（A）⋅P（B） - 独立したイベントについて、この定理。

（P（A⋅B）= P（A）⋅P（B | A）P（A⋅B）= P（A）⋅P（A | B）） - この依存性のために。

イベント式の終わったリスト。 確率の理論は、私たちに定理を伝えます このようになりますベイズ、：

P（H_m | A）=（P（H_m）P（A | H_m））：（Σ_（k = 1）^ N P（なH_k）P（A |なH_k））において、m = 1、...、 n個

この式において、H _{1、H 2、...、H Nは} -仮説の完全なセットです。

この停止では、サンプルの公式アプリケーションは、今の練習から特定のタスクのために考慮されます。

例

あなたは慎重に数学の任意の支店を勉強すれば、それは練習とサンプル溶液がないわけではありません。 そして、確率論：イベントは、ここでの例では、科学的な計算の確認に不可欠なコンポーネントです。

順列の数のための式

例えば、カードデッキで公称1から始まる、30枚のカードを持っています。 次の質問。 どのように多くの1と2の額面を持つカードが隣に位置していなかったように、デッキを折るする方法？

タスクは、今のはそれに対処するために移動させ、設定されています。 まず、あなたは、この目的のために、我々は上記の式を取り、30個の要素の順列の数を決定する必要があり、それがP_30 = 30を回します！。

第一及び第二のカードは次のだろうあるものである。このルールに基づいて、我々は多くの方法でデッキを捨てるためにそこにあるどのように多くの選択肢を知っているが、我々は彼らから控除されなければなりません。 これを行うには、まず第二に位置していますバリアント、で始まります。 これは、最初のマップは二十から九場所を取ることが判明 - 最初から第二十九に、および30の2番目から2番目のカードは、カードのペアのための29議席をオンにします。 ターンでは、他の人は二十から八席を取り、任意の順序ですることができます。 それは二十から八枚のカードの再配置のための28個のオプションP_28 = 28を持っている、です！

その結果、我々は決断を考慮すれば、最初のカードが第二の余分な機会であるとき、29⋅28を取得することです！ = 29！

同じ方法を使用して、最初のカードが第二の下に配置された場合の冗長オプションの数を計算する必要があります。 また、29⋅28を得ました！ = 29！

このことから、追加オプション2⋅29ということになる！、デッキ30を集めるのに必要な手段ながら！ - ⋅29 2！。 これは、計算するだけ残っています。

30！ = 29！ ⋅30。 30から2⋅29！ = 29！ = 29 - （2 30）⋅！ ⋅28

今、私たちは1二十から九に一緒に数字の全てを乗算する必要があり、その後、28を乗じたすべての最後に答えが2,4757335⋅〖〗10 ^ 32を得ました

溶液の例。 宿泊数の式

この問題では、あなたはそれだけで30巻の条件の下で、棚の上に15個のボリュームを配置する方法がありますどのように多くのを見つける必要があります。

このタスクでは、以前よりも少し楽に決定。 すでに知られている数式を使用して、30箇所15のボリュームの合計数を計算する必要があります。

A_30 ^ 15 = 30⋅29⋅...⋅28⋅（30から15 + 1）= 30⋅29⋅28⋅...⋅16 = 202 843 204 931 727 360 000

応答は、それぞれ、202 843 204 931 727 360 000に等しくなります。

今、もう少し困難な課題を取ります。 あなただけの15ボリュームが同じ棚に置くことができ、ただし、棚に三〇から二冊を配置する方法がありますどのように多くの知っている必要があります。

意思決定の始まりは、問題のいくつかは、いくつかの方法で解決することができ、この中で2つの方法がありますが、一つの同じ式の両方に適用されていることを明らかにしたいと思います前に。

そこに我々はあなたがさまざまな方法で15冊の本を棚に記入できる回数を計算しているため、このタスクでは、あなたは、以前のものからの回答を取ることができます。 =⋅29⋅28⋅30 ...⋅16 - それはA_30 ^ 15 = 30⋅29⋅28⋅...⋅（15 + 1 30）をオン。

それは15の残りながら、15冊の書籍を配置されているため、第二連隊は、式改造によって算出します。 我々は、式P_15 = 15を使用します！。

これは、合計はほかに、30から16までのすべての数字の積が、最後に、15に1からの数字の積を掛けられるA_30 ^ 15の⋅P_15方法、しかしが、30に1からのすべての数字の積を消すだろうということ、それが答えです判明します30です！

簡単に - しかし、この問題は、別の方法で解決することができます。 これを行うには、30本のための1つの棚があることを想像することができます。 それらのすべては、この平面上に置かれますが、条件が2つの棚、我々は半分に、ソーイング一つの長い、2ターン15があったことを必要とするためです。 このことから、このような構成のために= 30 P_30にすることができることが判明します！。

溶液の例。 の組合せの数のための式

誰が組合せ論の第三の問題点の変種と考えられています。 あなたはまったく同じ30から選択する必要があります条件で15冊の本を配置するがありますどのように多くの方法を知る必要があります。

意思決定のために、当然のことながら、組み合わせの数の計算式を適用します。 それは同じ15冊本の順序は重要ではないことが明らかになったことを条件から。 だから、最初に、あなたは30 15冊の組み合わせの総数を確認する必要があります。

C_30 ^ 15 = 30！ ：（（30-15））！ ：15！ = 155117520

それがすべてです。 、それぞれ、このような問題を解決することができる最短時間で、155117520に等しい回答を次の式を使用して。

溶液の例。 確率の古典的な定義

上記の式を使用して、1は、簡単な作業で答えを見つけることができます。 しかし、それは明らかに見ると行動方針に従います。

タスクは、骨壷に10個の完全に同一のボールがあることを考えます。 これらのうち、4黄色と青の6。 骨壷1個のボールから撮影。 青いdostavaniya確率を知ることが必要です。

dostavanie青いボールイベントAを指定する必要がある問題を解決するためにこの経験は、順番に、小学校と同じように可能性の高い10件の結果を有していてもよいです。 同時に、10の6はA.には、次の式を解きイベントに有利です：

P（A）= 6：10 = 0.6

この式を適用すると、我々は青いボールdostavaniya可能性が0.6であることを学びました。

溶液の例。 イベント量の確率

誰がイベント量の確率の式を使用することによって解決される変異体であろう。 だから、2例があるという条件を考えると、最初のものは灰色であり、5つの白ボール、一方、第2 - 8灰色と4つの白色ボール。 その結果、第一および第二のボックスは、そのうちの一つに取りました。 ボールがグレーと白欠けていた可能性が何であるかを知ることが必要です。

この問題を解決するためには、イベントを識別することが必要です。

• P（A）= 1/6： - したがって、我々は、グレー最初のボックスのボールを持っています。
• A ' - 、第一ボックスから採取白色電球：P（A'）= 5/6。
• P（B）= 2/3： - すでに第2の導管のグレー・ボール抽出しました。
• B ' - 第二引き出しのグレーボールた：P（B'）= 1/3。

AB「または」Bを：問題によれば、現象の一つが起こっている必要があります 式を用いて、我々は得る：P（AB「）は1/18、P（A'B）= 10/18 =。

今すぐ確率を掛けるの式が使用されました。 次に、その答えを見つけるために、あなたは追加自分の方程式を適用する必要があります。

P = P（AB '+ A'B）= P（AB'）+ P（A'B）= 11/18。

これは、式を使用して、あなたはこのような問題を解決することができる方法です。

結果

論文は「確率論」、重要な役割を果たしたイベントの確率の情報に提示されました。 もちろん、ないすべてが考えられてきたが、提示されたテキストをもとに、あなたは理論的に数学のこのブランチに慣れることができます。 考える科学は専門の事業ではなく、日常生活の中でだけでなく、便利です。 あなたは、イベントのいずれかの可能性を計算するためにそれを使用することができます。

テキストはまた、重要な科学としての確率論の発展の歴史の中で日付、作品それに入れてきた人たちの名前の影響を受けました。 それは人間の好奇心は、人々が、でもランダムなイベントをカウントすることを学んだという事実につながっている方法です。 一度彼らはこの中にだけ興味を持っているが、今日はそれがすでにすべてに知られています。 そして、誰もが、他の華麗な発見が検討中の理論に関連したものを、コミットされるだろう将来的には私たちに何が起こるかを言うことはできません。 しかし、一つだけ確かなことである - 研究はまだ価値がありません！