凸多角形。 凸多角形の定義。 凸多角形の対角線

これらの幾何学的図形はどこにでも私たちを囲んでいます 凸多角形は、例えばハチのハニカムや人工（人によって作られる）などの自然なものです。 これらの数字は、様々な種類の塗料の製造、塗装、建築、装飾などで使用されています。 凸多角形は、そのすべての点が、この幾何学図形の隣接する頂点のペアを通る線の片側に位置するという性質を有する。 他にも定義があります。 Convexは、その辺の1つを含む線に対して1つの半平面に配置された多角形です。

凸多角形

基本ジオメトリの過程では、常に単純なポリゴンしか考慮しません。 そのような幾何学的図形のすべての特性を理解するためには、その性質を理解する必要があります。 まず、端が一致する線を閉じた線と呼ぶことを理解すべきである。 そして、それによって形成される図は、さまざまな構成を持つことができます。 ポリゴンは、隣接するリンクが同じ行にない単純な閉じた折れ線です。 そのリンクとピークは、それぞれ、この幾何学図の辺と頂点です。 単純なポリラインには自己交差があってはなりません。

ポリゴンの頂点は、その辺の1つの端を表す場合、隣接して呼び出されます。 n番目の頂点を持ち、したがってn番目の辺の数を持つ幾何学図形をn-gonと呼びます。 破線自体は、この幾何学図形の境界または輪郭と呼ばれます。 ポリゴン面またはプレーンポリゴンは、それによって囲まれた任意の面の有限部分と呼ばれます。 この幾何学図形の隣接する辺は、1つの頂点から始まる破線のセグメントです。 それらがポリゴンの異なる頂点から来た場合、それらは隣接しません。

凸多角形の他の定義

基本ジオメトリには、その値に関していくつかの同等の定義があり、どのポリゴンが凸形であるかを示します。 そしてこれらの処方はすべて同じように真実です。 凸多角形は次のように考えられます。

•内部の任意の2つの点を結ぶすべてのセグメントは完全にその中にあります。

•その内部にすべての対角線があります。

•内角は180°を超えない。

ポリゴンは常に平面を2つの部分に分割します。 そのうちの1つは制限されていて（円で囲むことができます）、もう1つは無制限です。 最初は内側領域と呼ばれ、2番目はこの幾何学図形の外側領域と呼ばれます。 このポリゴンは、いくつかのハーフプレーンの交差点（つまり、共通のコンポーネント）です。 この場合、ポリゴンに属する点の終点を持つセグメントは完全にそのセグメントに属します。

様々な凸多角形

凸多角形の定義は、多種多様であることを示すものではありません。 それぞれには一定の基準があります。 したがって、180°に等しい内角を有する凸多角形は、弱い凸形と呼ばれる。 3つの頂点を有する凸幾何学図形は三角形と呼ばれ、4つは四角形であり、5つは五角形である。等高線の各頂点は以下の最も重要な要件を満たす.nは3以上でなければならない。 すべての頂点が1つの円に配置されているこのタイプの幾何学図形は、円に内接すると呼ばれます。 円の近くにあるすべての辺がそれに触れると、凸多角形が記述されます。 2つのポリゴンは、オーバーラップさせて組み合わせることができる場合にのみ、equalと呼ばれます。 多角形の平面は平面ポリゴン（平面の一部）と呼ばれ、この幾何学的図形によって制限されます。

凸多角形を修正する

正しいポリゴンは、等角と辺が等しい幾何学図形です。 それらの中には点0があり、頂点のそれぞれから同じ距離にあります。 この幾何学的図形の中心と呼ばれています。 この幾何学図形の頂点と中心を結ぶ線分をアポピエムと呼び、点0と辺を結ぶ線分は半径です。

右の四辺形は正方形です。 正三角形は正三法と呼ばれます。 このような図形の場合、凸多角形のすべての角度は180°*（n-2）/ nであり、

ここで、nはこの凸幾何学図形の頂点の数です。

正多角形の面積は、次の式で定義されます。

S = p * h、

ここで、pは、与えられたポリゴンのすべての辺の合計の半分に等しく、hは、アポエカの長さに等しい。

凸多角形の性質

凸多角形には一定の性質があります。 したがって、そのような幾何学図形の任意の2点を結ぶ線分は、必ずその中に配置されます。 証明：

Pが与えられた凸多角形であるとする。 現在の凸多角形の定義によれば、これらの点はPのいずれかの辺を含む線の片側に位置する。したがって、ABもまたこの性質を有し、Pに含まれる。凸多角形は常にその頂点の1つから引き出されたすべての対角線によって、いくつかの三角形に分割することが可能です。

凸幾何学図形の角度

凸多角形の角度は、その辺によって形成される角度です。 内部コーナーはこの幾何学図形の内部領域にあります。 1つの頂点で収束する、その辺によって形成される角度を、凸多角形の角度と呼ぶ。 与えられた幾何学的図形の内角に隣接する角度は外部と呼ばれる。 内部にある凸多角形の各角度は次のようになります。

180°-x、

xは外角の値です。 この単純な公式は、このタイプの任意の幾何学図形に適用されます。

一般に、外角の場合、以下のルールが存在します。凸多角形のすべての角度は、180°と内角の値の差に等しくなります。 -180°〜180°の範囲の値を持つことができます。 したがって、内側の角度が120°の場合、外側の角度は60°になります。

凸多角形の角度の合計

凸多角形の内角の合計は、次の公式によって設定されます。

180°×（n-2）、

ここでnはnゴンの頂点の数です。

凸多角形の角度の合計は非常に簡単に計算されます。 そのような幾何学的図形を考えてみましょう。 凸多角形内部の角度の合計を求めるには、頂点の1つを他の頂点に接続する必要があります。 この結果、（n-2）個の三角形が得られる。 任意の三角形の角度の和は常に180°であることが知られている。 任意の多角形におけるそれらの数は（n-2）に等しいので、そのような図の内角の合計は180°x（n-2）である。

所与の凸幾何学図形に対する凸多角形、すなわち任意の2つの内部および隣接外角の角度の合計は常に180°である。 このことから、すべての角度の合計を求めることができます。

180хn。

内角の合計は180°*（n-2）です。 このことから、与えられた図形のすべての外角の合計は、次の公式によって設定されます。

180°* n-180° - （n-2）= 360°。

凸多角形の外角の合計は、常に（その辺の数に関係なく）360°になります。

凸多角形の外側角は、一般に、180°と内側角の値との間の差によって表される。

凸多角形のその他の特性

これらの幾何学的図形の基本的な特性に加えて、それらを操作するときに生じる他の幾何学的図形があります。 したがって、いずれのポリゴンもいくつかの凸n個のゴゴンに分割することができる。 このためには、それぞれの辺を連続させ、この直線に沿ってこの幾何学的図形を切断する必要があります。 任意のポリゴンを複数の凸パーツに分割し、各ピースの頂点がすべての頂点と一致するように分割することができます。 この幾何学的図形から、1つの頂点からすべての対角を保持することによって三角形を作ることは非常に簡単です。 従って、最終的な分析における任意の多角形は、そのような幾何学的図形に関連する様々な問題を解決するのに非常に有用なある数の三角形に分割することができる。

凸多角形の周囲

ポリゴンの辺と呼ばれる破線のセグメントは、ab、bc、cd、de、eaの文字で表示されることが最も多いです。 これらは、頂点a、b、c、d、eを持つ幾何学図形の辺です。 この凸多角形のすべての辺の長さの合計はその周長と呼ばれます。

ポリゴンの円

凸多角形は内接して記述することができます。 この幾何学的図形のすべての側面に触れる円をそれに内接する。 このようなポリゴンを記述する。 ポリゴンに内接する円の中心は、与えられた幾何学図形内のすべての角度の二等分線の交点です。 このようなポリゴンの面積は次のようになります。

S = p * r、

ここで、rは内接円の半径であり、pは与えられた多角形の半周長である。

ポリゴンの頂点を含む円をその近くに記述します。 この場合、この凸幾何学図形は内接と呼ばれます。 このような多角形の近くに描かれている円の中心は、いわゆるすべての辺の中間垂線の交点を表します。

凸幾何学図の対角線

凸多角形の対角線は、隣接する頂点を接続しないセグメントです。 それらのそれぞれは、この幾何学的図形の中にあります。 このようなn-gonの対角線の数は、次の式で設定されます。

N = n（n-3）/ 2である。

凸多角形の対角線の数は、基本ジオメトリで重要な役割を果たします。 各凸多角形が壊れる可能性のある三角形（K）の数は、次の式で計算されます。

K = n-2である。

凸多角形の対角線の数は、その頂点の数に常に依存します。

凸多角形の分割

場合によっては、幾何学的な問題を解決するために、凸多角形を複数の三角形に分解して、不連続な対角を付ける必要があります。 この問題は、明確な公式を導出することで解決できます。

問題の定義：この幾何学図形の頂点でのみ交差する対角線によって、凸nゴンの分解をいくつかの三角形と呼ぶ。

解法：P1、P2、P3 ...、Pnがこのn-gonの頂点であると仮定します。 番号Xnは、そのパーティションの数です。 幾何学図形Pi Pnの結果の対角を注意深く考慮する。 規則的な区画P1のいずれかにおいて、Pnは、1

i = 2を通常のパーティションの1つのグループとし、常に対角P2 Pnを含むものとする。 それに入るパーティションの数は、（n-1）-gon P2 P3 P4 ... Pnのパーティションの数と一致する。 言い換えれば、それはXn-1に等しい。

i = 3の場合、この他のパーティショングループには常にP3 P1とP3 Pnの対角線が含まれます。 この場合、このグループに含まれる規則的なパーティションの数は、パーティション（n-2）-gon P3 P4 ... Pnの数と一致します。 言い換えれば、Xn-2と等しくなります。

i = 4とすると、三角形の中で、規則的な区画は四角形P1 P2 P3 P4、（n-3）-gon P4 P5 ... Pnが隣接する三角形P1 P4 Pnを必然的に含む。 そのような四辺形の規則的な区画の数はX4に等しく、（n-3） - 区画の区画の数はXn-3に等しい。 上のすべてに基づいて、このグループに含まれる通常のパーティションの総数がXn-3 X4に等しいと言うことができます。 i = 4,5,6,7 ...の他のグループには、通常のパーティションのXn-4 X5、Xn-5 X6、Xn-6 X7 ...が含まれます。

i = n-2とすると、与えられたグループ内の規則的なパーティションの数は、i = 2（言い換えれば、Xn-1に等しい）のグループ内のパーティションの数と一致する。

X1 = X2 = 0、X3 = 1、X4 = 2 ...なので、凸多角形の全分割数は、

Xn-1 + Xn-2 + Xn-3X4 + Xn-4X5 + ... + X5Xn-4 + X4Xn-3 + Xn-2 + Xn-1。

例：

X5 = X4 + X3 + X4 = 5

X6 = X5 + X4 + X4 + X5 = 14

X7 = X6 + X5 + X4 * X4 + X5 + X6 = 42

X8 = X7 + X6 + X5 * X4 + X4 * X5 + X6 + X7 = 132

1つの対角線を横切る規則的なパーティションの数

特定のケースの検証では、凸n-gonの対角の数が（n-3）だけこの図のすべてのパーティションの積に等しいと仮定することができます。

この仮定の証明：P1n = Xn *（n-3）とすると、任意のn個のゴンは（n-2）個のタリングルに分解できる。 同時に、それらのうちの1つを（n-3） - 四角形に組み合わせることができる。 これに伴い、各四角形は対角線を持ちます。 この凸幾何学図形には2つの対角線を描くことができるので、任意の（n-3）辺の四角形に追加の対角線（n-3）を描くことができます。 このことから、任意の規則的な区画において、この問題の条件に対応する（n-3）対角を実行することが可能であると結論付けることができる。

凸ポリゴンの面積

多くの場合、基本ジオメトリのさまざまな問題を解決するには、凸多角形の面積を決定する必要があります。 （Xi、Yi）、i = 1,2,3、... nは、自己交差を持たないポリゴンのすべての隣接頂点の座標列であるとする。 この場合、その面積は次の式で計算されます。

S = 1/2（Σ（X _i + X _{i + 1} ）（Y _i + Y _{i + 1} ）

ここで、（X ₁ 、Y ₁ ）=（X _{n + 1} 、Y _{n + 1} ）。